Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет - это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются - как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети - ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды - ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета - простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры :

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры :

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем - единицы.

Пример :

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел - это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример :

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры :

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример :

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. - это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения - с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например :

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

умножить на 4 - это дважды умножить на 2;

умножить на 6 - это значит умножить на 2, а потом на 3;

умножить на 8 - это трижды умножить на 2;

умножить на 9 - это дважды умножить на 3.

Например :

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

разделить на 4 - это дважды разделить на 2;

разделить на 6 - это сначала разделить на 2, а потом на 3;

разделить на 8 - это трижды разделить на 2;

разделить на 9 - это дважды разделить на 3.

Например :

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 - это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример :

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

37*9=37*10 - 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко - это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы - это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

• Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
• Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
• Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это - из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.

Устный счёт на автомате

Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» - упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку - и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Обучение грамоте осуществляется два раза в неделю (9 – 12-я недели обучения).

Одновременно с окончательным усвоением звуков с, с’, э, з’ происходит знакомство с буквами н, я, з, х. Закрепляются приобретенные ранее знания и навыки. Продолжаются упражнения в выкладывании из цветных фишек и букв разрезной азбуки обратных и прямых слогов, слов типа СГС, их чтение и письмо. На этом этапе обучения особенно важно продолжать вырабатывать навык ориентировки при чтении прямых слогов на гласную букву, поскольку согласные буквы в большинстве случаев обозначают и твердые, и мягкие звуки. Для того чтобы прочитать прямой слог (например, са или ся ), необходимо сначала увидеть гласную букву. Только после этого появляется возможность правильно прочитать слог. Для выработки указанного навыка детям предлагается читать прямые слоги, установив ту или иную согласную букву в первом окошке и изменяя гласные во втором. Логопед говорит: «Поставьте букву о . Читайте. Поставьте букву и . Читайте. Поставьте букву я . Читайте». Таким образом дети читают слоги, например: со, си, ся и т.д. Выполнение задания в этом случае облегчается тем, что согласная буква повторяется во всех слогах и, следовательно, все внимание детей направлено на второе окошечко, т.е. на гласные буквы. Несколько позднее включаются упражнения в чтение слогов, выложенных детьми из разрезной азбуки (например, па, зи, мя, ко ), или по таблице. Эти упражнения сложнее, так как теперь меняется не только гласная, но и согласная буква. Следовательно, чтобы прочитать слог, надо посмотреть сначала на гласную букву, затем на согласную, сообразить, твердый или мягкий звук обозначает согласная буква в читаемом слоге. Прочитанные слоги по возможности (если есть знакомые детям слова, состоящие из правильно произносимых звуков) добавляются до слов (устно). Постепенно, после того как дети познакомятся со слоговым делением слов, включаются упражнения в составлении звуко-слоговых схем слов с последующей заменой фишек, обозначающих звуки, буквами разрезной азбуки. Переход от чтения слогов к осмысленному чтению слов – важный и очень ответственный этап работы. Первые упражнения в составлении схем слов проводятся параллельно с устным анализом. После того как будет произнесено слово, кладется длинная полоска, обозначающая слово, затем определяется количество слогов и кладется соответствующее количество полосок меньшего размера, наконец, называются звуки каждого слога с указанием мягкости или твердости согласных, выкладывание схемы заканчивается и слово «прочитывается». По схеме задаются различные вопросы (см. занятия на букву з ). Затем фишки заменяются буквами и слово прочитывается. По мере закрепления навыка составления схемы упражнение усложняется – в начале проводится полный анализ слова, а затем дети выкладывают схему. Несколько позднее детям предлагается самостоятельно (без предварительного анализа) выкладывать схемы слов по возможности разного типа (мак, кит, косы, Сима, утка, паук… ) по заданию, картинкам, выставленной схеме. После замены фишек буквами слова читаются. Кроме того, проводится чтение слов по таблицам, по продержкам, с доски и т.п.

Звук и буква н

В начале второго периода обучения дети знакомятся с буквой н . Одновременно они продолжают работать над усвоением буквы с . Специальных занятий по произношению на звуки н и н’ не проводилось, поэтому в занятия по грамоте рекомендуется включить ряд упражнений в произношении этих звуков. Это могут быть слоговые упражнения типа на – ня; ан – ан’ и т.п. Это может быть и произношение слов с последующим отбором слов с твердым звуком н и мягким н’ . Примерные слова: Нина, Ваня, канава, осень, ванна, сосна, поднос, кони, окно, комната, танк, кнут, ноги, окуни и т.п.

Затем проводятся упражнения в чтении по продержкам слогов с твердыми и мягкими согласными, например: на, но, ни, ны, ну . Аналогично с согласными буквами с, п, к, м . Может быть предложено выкладывание из букв разрезной азбуки прямых и обратных слогов и их последующее чтение. Особое внимание обращается на преобразования типа ны – ни; си – сы. После подробного анализа выкладываются схемы слов типа Ната, Нина, косы, Сима. Фишки заменяются буквами. Слова читаются.

Буква я

Более подробно остановимся на подборе материала при планировании занятия по грамоте, цель которого знакомство с буквой я и употребление ее после согласных.

Примерный ход занятия

I. Сравнение мягких звуков с твердыми.

Логопед говорит: «Сядет тот, кто правильно произнесет слог, который я скажу, и правильно определит, какой согласный звук в этом слоге – мягкий или твердый».

Логопед произносит прямые слоги с гласными звуками ы, и, а, например: пы, та, ся, ми, си, сы, пя и т.п. Дети постепенно садятся.

II. Буква я после согласных.

1. Детям предлагается произносить слоги сы и си . Затем логопед задает вопрос: «В чем разница между этими слогами?» (В слоге сы звук с твердый и звук ы . В слоге си звук с мягкий и звук и .)

2. Дети выкладывают, а затем читают слог сы . Логопед спрашивает: «Как сделать из слога сы слог си ?» (Надо убрать букву ы и положить букву и .) Дети выкладывают и читают слог си .

3. Детям дается задание сложить слог са и ответить на вопросы: «Какие звуки в этом слоге?» (Твердый звук с и звук а .) «Какой согласный звук в слоге ся ?» (Мягкий звук с .)

Логопед на наборном полотне складывает слог са , убирает букву а и говорит: «Для того чтобы сложить слог ся , надо после мягкого звука с вместо буквы а поставить гласную букву я ». Затем он ставит букву я и читает слог ся .

Логопед предлагает детям убрать букву а из слога са , взять приготовленные заранее буквы и положить я после с . Сложенный слог ся читается хором и отдельными детьми.

4. Затем логопед на наборном полотне заменяет букву с буквой н и читает слог ня . То же проделывают дети. Аналогично выкладываются и читаются слоги пя и мя . Буква я выставляется в таблицу гласных букв под буквой а .

III. Затем (по усмотрению логопеда) могут быть предложены следующие упражнения.

Чтение слогов типа са – ся и с другими согласными (по таблице).

Составление и чтение по продержкам всех знакомых слогов, т.е. са – си – су – сы – ся – со и со всеми другими согласными.

Преобразование слогов путем замены гласной буквы, например: сложить слог са , прочитать его, заменить букву а буквой я , вновь прочитать и т.п. Или: детям предлагается сложить какой-либо слог, например, на, затем заменить одну букву так, чтобы получился слог ня , и т.д.

IV. Устные упражнения.

Дети становятся в круг. Предлагается произносить поочередно слоги то с твердым, то с мягким согласным (слоги даются только с гласным а ), т.е. если первый ребенок произнесет слог пя , то второй па , затем опять пя и т.д. Время от времени меняется согласный звук. Логопед говорит, обращаясь к одному из детей: «А теперь скажи ма ». Следующий ребенок должен сказать мя и т.д., пока не будет другого задания.

В форме игры с мячом проводится следующее упражнение. Логопед бросает мяч и называет первый слог – начало имени мальчика или девочки. Ребенок должен дополнить слово так, чтобы во втором слоге был мягкий звук. Примерные имена: Валя, Ваня, Вася, Коля, Леля, Леня, Маня, Паня, Таня, Люся, Дуся.

V. Чтение всех знакомых слов, в частности: Аня, Маня, Таня, Паня.

Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции .

Феноменальные счётчики

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс . Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте . Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова .

Среди известных российских «супер счётчиков»:

Среди зарубежных:

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях , другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы .

Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях - и к шизофрении). С другой стороны и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.

Соревнования по устному счёту

Метод Трахтенберга

Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга . История её создания необычна . В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь . Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт .

Устный счёт в искусстве

В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского », написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие:

Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя » Барри Левинсона и в фильме «Пи » Даррена Аронофски .

Некоторые приёмы устного счёта

Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34*9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30*9=270, 4*9=36, 270+36=306) .

Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176 . Однако, не зная таблицу умножения до 19*9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры как 147*8=(150-3)*8=150*8-3*8=1200-24=1176

Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225*6=225*2*3=450*3=1350 . Также, проще может оказаться 225*6=(200+25)*6=200*6+25*6=1200+150=1350.

Существует ещё несколько способов устного счета, например при умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к умножаемому, например 48*1,5= 48/2+48=72

Также есть особенности при умножение на 9. для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и к получаемому числу отнять множимое, например 45*9=450-45=405

Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2

Возведение числа вида X5 (оканчивающегося пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем X на X+1 и приписываем 25 справа, т.е. (X5)² = (X*(X+1))*100 + 25. Например, 65² = 6*7 и приписываем справа 25 = 4225 или 95² = 9025 (9*10 и приписать 25 справа). Доказательство: (X*10+5)² = X²*100 + 2*X*10*5 + 25 = X*100*(X+1) + 25.

См. также

Примечания

Литература

• Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Нач. шк - 1993.-№ 11.-с. 38-43.
• Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. - 2001.- № 7
• Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.
• Боротьбенко Е И. Контроль навыков устных вычислений. //Нач. шк. - 1972. - № 7.- с. 32-34.
• Воздвиженский А. Умственные вычисления. Правила и упрощённые примеры действий с числами. - 1908.
• Волкова СИ., Моро М. И. Сложение и вычитание многозначных чисел. //Нач. шк.- 1998.-№ 8.-с.46-50
• Воскресенский М. П. Приёмы сокращённых вычислений. - М.Д905.-148с.
• Вроблевский . Как научится легко и быстро считать. - М.-1932.-132с.
• Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931.
• Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.
• Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк:Сталкер, 1997 г.
• Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. - 2002. - № 2. - С. 94-103.
• Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. - М.: Учпедгиз.- 1967. −150с.
• Липатникова И. Г. Роль устных упражнений на уроках математики //Начальная школа. - 1998. - № 2.
• Мартель Ф. Приемы быстрого счёта. - Пб. −1913. −34с.
• Мартынов И. И. Устный счёт для школьника, что гаммы для музыканта. // Начальная школа. - 2003. - № 10. - С. 59-61.
• Мелентьев П. В. «Быстрые и устные вычисления.» М.: «Гостехиздат», 1930.
• Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945.
• Пекелис В. Д. «Твои возможности, человек!» М.: «Знание», 1973.
• Робер Токэ «2 + 2 = 4» (1957) (англоязычное издание: «Магия чисел» (1960)).
• Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.
• Сухорукова А. Ф. Больше внимания устным вычислениям. //Нач. шк. - 1975.-№ 10.-с. 59-62.
• Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. - 2003. - № 10.
• Фаермарк Д. С. «Задача пришла с картины.» М.: «Наука».

Ссылки

• В. Пекелис. Чудо-счётчики // Техника-молодёжи , № 7, 1974 г.
• С. Транковский. Устный счёт // Наука и жизнь , № 7, 2006 год.
• 1001 задача для умственного счёта С.А. Рачинского .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Устный счёт" в других словарях:

устный - устный … Русский орфографический словарь

Произносимый, словесный, вербальный, изустный. Ant. письменный Словарь русских синонимов. устный изустный, словесный; вербальный (спец.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов

- [сн], устная, устное. 1. Произносимый, письменно не закрепленный. Устная речь. Устная традиция. Устный зачет. Устно (нареч.) передать ответ. 2. прил. к уста, ротовой (анат.). Устные мышцы. ❖ Устная словесность (филол.) то же, что фольклор.… … Толковый словарь Ушакова

УСТНЫЙ, см. уста. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

УСТНЫЙ, ая, ое; устна, устно. Произносимый, не письменный. Устная речь. У. ответ. Устное заявление. Передать устно (нареч.). | сущ. устность, и, жен. (спец.). У. судебного разбирательства. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 … Толковый словарь Ожегова

устный - устный. Произносится [усный] … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

I прил. Не закрепленный письменно. II прил. соотн. с сущ. уста, связанный с ним (в анатомии) Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Эта статья была написана мною несколько лет назад для одного репетиторского сайта. При размещении администратор сайта исказил не только мою фамилию, но и цель моей статьи. Я предназначал ее школьникам, а администратор того сайта переадресовал ее.... начинающим репетиторам, озаглавив "Какие вычисления производит репетитор по математике в уме?" При этом обозначенный им потолок устного счета в его статье на эту тему сводится только к вычислению в уме умножения двузначного числа на однозначное. Он пишет: "Допустим, это 29x7 . «Звуковая дорожка» от репетитора может быть следующей: «29 это двадцать и 9. Двадцать на 7 будет …. (ученик отвечает 14) , а 9 на 7 будет …. (ученик отвечает 63). Сто сорок и шестьдесят три будет …» " Мало того, что в этом тексте есть ошибка (Двадцать на семь будет 140, а не 14) - надо же проверять, считывать написанное (!!!), мало того, что гораздо удобнее тридцать умножить на семь и вычесть семь, так этот приём в статье того репетитора - единственный (????) в вопросе устного счета.
Что же получается? Навыки быстрого устного счета излишни для школьников и ими могут пользоваться только репетиторы? А вот и нет! На моих занятиях я всегда приветствую, когда ученик стремится считать в уме. Да, этому, как правило, не учат в школе. Но как показывает опыт, использовать навыки быстрого устного счета при желании может каждый школьник. И это само по себе полезно, поскольку позволяет "чувствовать" числа и понимать, сколько может получиться при умножении, а сколько не может. Важно только научиться мыслить немножко не так, как учат в школе. И ведь эти приемы могут пригодится школьнику в течение всей школьной программы, и на экзаменах, где, как известно, не разрешается пользоваться калькулятором.
Например, требуется из 11531 вычесть 9487. Как учат в школе? Надо написать столбик, при этом постоянно занимая, считая разность. Между тем, если несколько раз занять, то можно легко ошибиться, где занял, а где нет. А можно подсчитать это в уме совсем другим способом, даже не думая столбиком. Можно заметить, что в уменьшаемом цифры в основном маленькие, а в вычитаемом в основном большие. Тогда считаем таким образом: На сколько 11531 больше, чем 11000? - На 531. На сколько 9487 меньше, чем 10000? - На 513. Между 11000 и 10000 - одна тысяча.

11531 – 9487 = 11000 + 531 – (10000 – 513) = 11000 – 10000 + 531 + 513 = 2044
Этот приём удобнее всего запомнить с помощью рисунка:

А теперь разберём пример посложнее - умножение. Сколько будет 64 * 15? Что такое 15? 15 - это 1,5 * 10. Как число умножается на 1,5, т.е. на полтора? Для этого надо к этому числу прибавить половинку от него самого. Если в примере фигурирует не 1,5, а 15, или 150, то надо приписать ещё справа определённое количество нулей. Таким образом, 64 плюс половинка от этого числа, то есть 32 и ноль приписываем.
То есть 64 + 32 = 96; 96 * 10 = 960.

64 * 15 = 64 * 1,5 * 10 = (64 + 32) * 10 = 960

Теперь умножим 84 на 25. Аналогичный пример, но в этом случае можно подсчитать разными способами. Можно рассматривать 25 как 2,5 * 10. Иными словами, взять 84 два раза и прибавить к полученному результату 42, а потом умножить на 10.

84 * 25 = (84 + 84 + 42) * 10 = 2100
И приписываем ноль. А можно и по-другому. 84 * 0,25 * 100. То есть разбиваем 25 на 0,25 и 100. Зачем нам это надо? Дело в том, что 0,25 это ¼ (одна четвёртая). Иными словами, 84 делим на 4, получается 21, и приписываем два ноля. Получается те же 2100:

84 * 25 = 84 * 0,25 * 100 = 84: 4 * 100 = 2100
Может показаться, что подобные приемы едва ли могут понадобиться в школе, что в школьной программе встречаются только примеры типа 29x7. Между тем в некоторых учебниках полным полно примеров, которые подразумевают применение методов быстрого счета, важно только суметь распознать эти методы. Важно отметить в этой связи, что в учебниках 6-го класса нередко встречаются задания "Вычислить наиболее рациональным способом", а в учебниках следующих классов такие задания обычно отсутствуют. Это не означает, что такие методы надо забыть в старших классах. Вот, пример из реального занятия с учеником 8-го класса. Ему встретилось в одной задаче
375 * 48. Казалось бы, умножать трехзначные числа на двузначные можно только столбиком. Но результат умножения этих двух чисел легче получить в уме. Что такое 375?
- Это 125 * 3. Число 125 - это 0,125 * 1000 (одна восьмая умноженная на тысячу). Следовательно, превращаем 375 в 0,375 (три восьмых) * 1000. Получаем

48 * 375 = 48 * 0,375 * 1000 = 48 * 3: 8 * 1000 = 48: 8 * 3 * 1000 = 18000
Зная этот приём все действия получаются в уме автоматически и ученик может быть уверен, что он нигде не ошибся. Тогда как при подсчете столбиком, где фактически необходимо выполнить несколько действий, вероятность ошибки куда больше.
Для быстрого устного счета неплохо знать наизусть не только таблицу умножения, но и таблицу квадратов, хотя бы до тридцати. Практика показывает, что это относительно несложно, и есть школьники с такими знаниями. К тому же это знание порой позволяет не только возводить в квадрат, но и считать в уме примеры типа 39 * 26, применяя приём разложения на "известные" множители. Нетрудно заметить, что 39 это 13 * 3,
а 26 - это 13 * 2. Зная наизусть, что 13 * 13 = 169, осталось только 169 * 6. 170 * 6 будет 170 * 3 * 2 = 1020 и минус 6, получается 1014.

39 * 26 = 3 * 13 * 2 * 13 = 169 * 6 = 170 * 6 – 6 = 1014

Кстати, о таблице квадратов. Да, таблица квадратов публикуется на форзаце учебников, она публикуется в сборниках для подготовки к экзаменам, ею разрешают пользоваться на экзамене. Получается, что знать таблицу квадратов наизусть необязательно. Однако до революции, когда не было калькуляторов и компьютеров, школьники, по крайней мере, в школе Рачинского (у художника Н.П. Богданова-Бельского есть картина "Устный счёт", напоминающая об этом), умели возводить в квадрат числа до 100 в уме. Не столбиком, а именно в уме. Как они это делали? Казалось бы, процесс достаточно трудоёмкий, даже если применять, например, формулы сокращённого умножения. Действительно, возьмем, например, число 96 и возведём его в квадрат по формуле квадрата суммы (90 + 6) 2 . Получатся три слагаемых, складывать которые подчас неудобно. Еще менее удобно, если взять формулу квадрата разности (100 – 4) 2 . Однако есть приём попроще, но пока стоит сделать отступление и поговорить о формулах сокращённого умножения. Любопытно, но в школьной программе эти формулы используются в самых разных разделах математики - от алгебраической дроби до тригонометрических преобразований, но только не для быстрого умножения чисел. Только при непосредственном изучении темы приводится несколько примеров на счёт с помощью этих формул, да такого рода задания встречаются на вступительных экзаменах в лицеи. Почему? Да потому что производить вычисления в уме с помощью этих формул не слишком удобно, да и методы не универсальны. Конечно в некоторых случаях эти формулы можно использовать для быстрого счёта. Особенно это относится к формуле разность квадратов. Действительно, если надо умножить 37 на 43, 26 на 32, 35 на 25 и т.д. (если разница между числами чётная), то формулой разность квадратов можно добиться быстрого результата, хотя для этого требуется опять-таки знать ещё и таблицу квадратов (37 * 43 = (40 – 3) * (40 + 3) = 1600 – 9 = 1591; 26 * 32 = (29 – 3) * (29 + 3) = 841 – 9 = 832;
35 * 25 = (30 + 5) * (30 – 5) = 900 – 25 = 875). Более удобен другой способ возведения в квадрат, чем применение формул сокращённого умножения. Для примера возьмем то же самое число 96 в квадрате.
Для начала разберёмся с правилом быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Например, 25 в квадрате, 35 в квадрате, 45 в квадрате, 95 в квадрате. Правило такое. Для этого, количество десятков возводимого в квадрат числа (например, 9 в числе 95) умножить на число, которое на единицу больше (то есть на 10 в случае 95) и приписать 25. Получается 9025. Подсчитаем таким способом, например 85 2:

85 2 = 8 * 9 * 100 + 25 = 7225
(на 100 умножаем потому что произведение 8 * 9 даёт нам первые две цифры конечного результата).
Почему так получается комментировать в рамках данной статьи не буду, отмечу лишь, что это правило действует и для трехзначных чисел, что стало встречаться, например, на ОГЭ, причем и в обратную сторону - в виде извлечения арифметического квадратного корня из пятизначного числа, оканчивающегося на...25. По всей вероятности, составители заданий стали учитывать, что публикуемая везде таблица квадратов включает в себя возведение в квадрат только двузначных чисел, и надо проверить школьников чем-нибудь выходящим за рамки этой таблицы. Справедливости ради надо сказать, что и в школах некоторые учителя знакомят учеников с этим приёмом. Хотя обычно не говорится, что с его помощью можно легко получить результат возведения в квадрат любого числа из таблицы. Как это делается? Среди чисел, которые возводятся квадрат, есть т.н. «опорные» числа. Это, во-первых, 10, 20, 30, 40, ….90 и, во-вторых, 15, 25, 35… 95. Это те числа, возвести которые в квадрат очень просто. Теперь берём число 96 и возводим его в квадрат. Для этого к 9025 надо прибавить 95 и 96. Прибавляем 200 и отнимаем (5 + 4 – числа, дополняющие 95 и 96 до 100). Пишем результат – 9216. Почему так?

96 * 96 = (95 + 1) * 96 = 95 * 96 + 1 * 96 = 95 * (95 + 1) + 1 * 96 = 95 * 95 + 95 + 96 = 9216.
Аналогичным способом при соответствующей тренировке можно возводить в квадрат любое число из таблицы квадратов, вплоть до того, чтобы показывать фокусы быстрого счета или феноменальной памяти перед одноклассниками. Для тех, кто всё еще побаивается столь больших чисел, принцип действий можно объяснить на простом примере. 4 в квадрате. Это будет 16. Теперь возведём в квадрат 5. Это будет 25. Зная 4 в квадрате, результат следующего числа в квадрате получается прибавлением к предыдущему суммы возводимых в квадрат чисел. Например, 5 в квадрате это 4 в квадрате + 5 + 4 (т.е. 16 + 9).
Ученик, поднаторевший в применении этих приемов быстрого устного счета вполне может придумать свои приемы, внимательно вглядываясь в числа и находить в них свои закономерности. Как показывает опыт, это стремление приучает его не ошибаться в счете, а поиск своих приемов прививает ему интерес к предмету, позволяет творчески подходить к его изучению и находить в нем что-то свое. Некоторые школьники стремятся блеснуть такими своими умениями перед одноклассниками, а то и вовсе про-демон-стри-ро-вать "фокус" по подсчёту в уме больших чисел. Это надо только приветствовать, хотя и не во всех школах учителя верят, что школьники могут считать что-то в уме, а не на калькуляторе. На моей памяти есть и вовсе анекдотический случай из серии "нарочно не придумаешь", когда ученик в 5-м классе написал: 22 + 33 = 55. Казалось бы, что здесь неправильно? Но ему это учительница зачеркнула, предложив переписать то же самое... столбиком. Вместо того, чтобы учить детей считать в уме, порой встречаются "недоверчивые" учителя, которые полагают, что если столбик не написан, то значит, ученик считал калькулятором.
На индивидуальных занятиях с репетитором по математике бывает полезно уделять внимание изучению приёмов быстрого устного счёта.

© Александр Миров, репетитор по математике, Москва

МОУ «Брёховская основная общеобразовательная школа»

Устный счёт на уроках математики.

Из опыта работы Швалёвой Т. В.,

с. Брёхово 2010

Ну-ка, в сторону карандаши!

Ни костяшек, ни ручек, ни мела.

Устный счёт! Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Устный счёт! Мы считаем в уме.

В начале каждого урока математики я провожу устный счёт, во время которого учу детей рассуждать, мыслить, анализировать, сравнивать, обобщать, выявлять закономерности, учу быстрым и рациональным приёмам устных вычислений. Работаю над развитием таких психических качеств, как восприятие, внимание, воображение, память, мышление. Кроме этого развиваю умение быстро переключаться с одного вида деятельности на другой.

К организации устного счёта я предъявляю следующие требования:

Занимательность

Оригинальность

Разнообразие

Систематичность

Познавательность

Последовательность.

Во время устного счёта использую занимательные задачи, ребусы, головоломки, игры, магические квадраты, загадки, разные виды устного народного творчества. Применяя самые разнообразные задания, создавая атмосферу интереса, творчества, сотрудничества воспитываю у детей самостоятельность, любознательность, стремление к творчеству, интерес к математике.

Часто начинаю уроки с интеллектуальной разминки.

Интеллектуальные разминки.

· Ты да я, да мы с тобой. Сколько нас всего? (2)

· Ехал по морю купец, ел с Алёной огурец. Половину съел сам, половину кому отдал? (Алёне)

· Мой приятель шёл, пятак нашёл. Вдвоём пойдём, сколько найдём? (Не предскажешь).

· Шёл человек в город, а навстречу ему шли четверо его знакомых. Сколько человек шло в город? (один)

· Что можно приготовить, но невозможно съесть? (уроки)

· Горело семь свечей, две погасли. Сколько свечей осталось? (2)

· Собака была привязана на 10-метровую верёвку, а ушла на 300 метров. Как это так? (Ушла вместе с верёвкой)

· Что не имеет длины, ширины, глубины, высоты и тем не менее можно измерить? (возраст)

· Как число 86 увеличить на 12 без вычислений? (Перевернуть.)

· По небу летели воробей, ворона, стрекоза, ласточка и шмель. Сколько птиц летело? (3 птицы)

· Возле ёлок и иголок

Летним днём построен дом,

За травой не виден он,

А жильцов в нём миллион. (Муравейник.)

· Летела стая гусей, а навстречу им гусак.

Здравствуйте, десять гусей!

Нет, нас не десять. Если бы ты был с нами да ещё двое гусей, то тогда было

бы десять.

Сколько в стае гусей?

Найди закономерности.

С первого класса включаем в устный счёт задания на выявление закономерностей.

Продолжи ряд чисел, используя для этого выявленную закономерность.

2, 4, 6, 8, …, …, … .

2, 5, 8, …, …, … .

Найди закономерности, по которым составлены ряды чисел, продолжи их.

Числа четвёртой колонки таблицы получены в результате выполнения действий над числами первых двух колонок. По результатам первых строк установи правило, по которому получаются числа четвёртой колонки. Какие числа должны быть в пустых клетках четвёртой колонки?

Продолжите столбики:

36: 4 = 6 * 5 = □ : 6 = 3

32: 4 = 5 * 5 = □: 6 = 4

28: 4 = 4 * 5 = □: 6 = 5

……….. ………. ……….

………… ……….. ……….

Предполагается, что учащиеся определят закономерность в составлении каждого столбика и продолжат его.

Задачи для развития логического мышления.

· В трёх коробках лежат скрепки, кнопки и спички. Известно, что все три надписи неверные. Определите, где что лежит.

https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_63.gif" width="612" height="96">

· В будках живут сторожевые собаки. Алый терпеть не может Полкана, поэтому их будки не рядом. Полкан не переносит Рекса – их домики стоят врозь. Рекс недолюбливает Мухтара, поэтому их домики не соседние. Крайняя слева будка Рекса. В какой будке живёт Мухтар?

https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_20.jpg" width="540" height="236 src=">

Ребус – это загадка. Его особенность состоит в том, что вместо слов в нём поставлены знаки, фигуры и даже рисунки – их надо разгадать.

Разгадайте следующие ребусы:

https://pandia.ru/text/78/123/images/image006_23.gif" width="612" height="144">

Поставьте вместо вопросительных знаков названия цифр так, чтобы получились имена существительные.

Формирование навыков устного счёта.

Навыки устного счёта формирую в играх «Молчанка», «Цепочка», которые можно проводить во всех классах начальной школы, постепенно усложняя. Эти игры хороши прежде всего тем, что проходят быстро и занимательно.

https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_16.gif" alt="Овал: 300: 5 " width="102" height="100">
.gif" alt="8-конечная звезда: 8 +" width="104" height="114 src="> 9 7

Много игр провожу для формирования навыков табличного умножения и деления.

Ученики по очереди встают и воспроизводят таблицу умножения. Например, на 2: первый ученик – 2*2 = 4, второй – 2 *3 = 6 и т. д..Ученик, который правильно назвал пример из таблицы и его ответ, садится на место. А тот, кто ошибся, стоит, т. е. остаётся «в решете».

Ролевая игра.

Первый ученик первого ряда встаёт и называет делимое, первый ученик второго ряда – делитель, первый ученик третьего ряда – частное. Затем встают вторые ученики каждого ряда и продолжают игру.

В устный счёт включаю задания, способствующие развитию самостоятельности в проявлении вариативности .

Какие числа можно вставить, чтобы равенства были верными? («Окошки» обозначают числа, которые нужно подставить вместо них.)

700: 10 = □ + □

5 * □ = □ - 400

□ + 8 = □ : 50

630: □ = 70 - □

Составьте примеры по схемам, где это возможно. Вычислите. Где невозможно составить пример? Объясните почему.

а) □□ + □ = □□□

б) □□ - □ = □□□

в) □□ - □ = □□

г) □□□ - □□ = □□

д) □ + □ + □ = □□□

е) □□□ - □ - □ = □

Нравится детям решать задачи в стихах.

Задача с яблоками. Л. Пантелеев

Ящик яблок прислала.

В этом ящике яблок

Было, в общем, немало.

Помогали мне сёстры,

Помогали мне братья.

И пока мы считали,

Мы ужасно устали,

Мы устали, присели

И по яблоку съели.

И осталось их – сколько?

А осталось их столько,

Что пока мы считали –

Восемь раз мы сидели,

Восемь раз отдыхали

И по яблоку ели.

И осталось их – сколько?

Ох, осталось их столько,

Что, когда в этот ящик

Мы опять поглядели,

Там на дне его чистом

Только стружки белели….

Только стружки-пеструшки,

Только стружки белели.

Вот прошу угадать я

Всех ребят и девчонок:

Сколько было нас, братьев?

Сколько было сестрёнок?

Поделили мы яблоки

Все без остатка.

А всего-то их было

Пятьдесят без десятка.

Приёмы быстрого счёта.

С первого класса учу детей быстрым и рациональным приёмам устных вычислений. Если одно из слагаемых 9, увеличь его на 1, при этом второе слагаемое надо уменьшить на 1. если одно из слагаемых 8, увеличь его на 2, при этом второе слагаемое надо уменьшить на 2.

9 + 5 = (9 + 1) + (5 – 1) = 10 + 4 = 14

8 + 4 = (8 + 2) + (4 – 2) = 10 + 2 = 12

Во втором классе находим значение выражений, в которых нужно к двузначному числу прибавить 9. Для этого нужно количество десятков увеличить на 1, а количество единиц уменьшить на 1.

13 + 9 =+ 9 =+ 9 = 98

Как быстро от числа отнять 9? Нужно количество десятков уменьшить на 1, а количество единиц увеличить на 1.

34 – 9 =– 9 =– 9 = 33

Как быстро найти разность многозначных чисел? Разность не изменяется от увеличения или уменьшения уменьшаемого и вычитаемого на одно и тоже число. Можно легко эти примеры решать на основе округления вычитаемого.

572 – 395 = 572 – 400 +5 = 172 + 5 = 177 (Учащиеся поймут, если из уменьшаемого вычитается лишняя пятёрка, то её надо прибавить к разности.)

25 406 – 4 991 =

Как быстро умножить на 5 двузначное, трёхзначное, многозначное число?

Например: 2648 * 5

А приём такой: в уме разделить 2648 на 2, а потом приписать справа 0.

13240 – результат.

А если число не делится на 2?

При делении на 2 в остатке может получиться только 1. а если 1 умножить на 5, будет 5. Значит, вместо нуля на конце надо поставить 5.

Например, 125 * 5, 125: 5 = 62 (ост. 1), значит, 125 * 5 = 625

Как быстро умножить на 25?

48 * 25 = (48: 4) * 100 =1200

Если число разделить на 4, а потом умножить на 100, так оно умножится на 25. Если же множимое не делится на 4, то в остатке может получится или 1, или 2. или 3. Если в остатке получится 1, то вместо двух нулей ставим 25, если в остатке 2, то 50, если 3, то 75.

37 * 25, 37: 4 = 9 (ост. 1), значит, 37 * 25 = 925

38 * 25, 38: 4 = 9 (ост. 2), значит, 38 * 25 = 950

39 * 25, 39: 4 = 9 (ост. 3), значит 39 * 25 = 975

Устное народное творчество.

Разные виды устного народного творчества во время устного счёта помогают

не только снять напряжение, но и развивают речь ребёнка, обогащают словарный запас, тренируют внимание, память, закладывают основы творчества.

Дети, знаете ли вы загадки с числами? Загадайте, а мы отгадаем.

А сейчас отгадайте следующие загадки:

· Пять ступенек – лесенка, на ступеньках – песенка. (ноты)

· Приказало солнце: «Стой,

Семицветный мост крутой!» (радуга)

· Под крышей четыре ножки,

А на крыше суп да ложки. (стол)

· У него глаза цветные,

Не глаза, а три огня.

Он по очереди ими

Сверху смотрит на меня. (светофор)

Какие числа встречались в загадках?

Знаете ли вы пословицы с числами? Можно провести игру «Закончи пословицу».

Кто скоро помог, тот дважды помог.

Одна пчела немного мёду натаскает.

Одно дерево срубишь – десять посади.

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Трус умирает сто раз, а герой – один раз.

Чтобы научиться трудолюбию, нужно три года,

Чтобы научиться лени – только три дня.

Семь раз примерь, один раз отрежь.

Семеро одного не ждут.

Игра «Пересадки».

Для закрепления теоретических знаний по математике провожу игру «Пересадки». Задаю вопрос. Ученик, ответивший правильно на данный вопрос, пересаживается на отдельный стул. Ученик, ответивший правильно на второй вопрос, занимает место первого ученика и т. д.. В конце игры подвожу итог. Спрашиваю: «Кто пересаживался? Молодцы! Садитесь на свои места».

Вопросы могут быть следующие:

Как называются числа при делении? При умножении? При вычитании? При сложении?

Что такое периметр?

Как найти периметр прямоугольника? Квадрата?

Как найти площадь прямоугольника?

Какой остаток может быть при делении?

Как найти неизвестное слагаемое? Вычитаемое? Неизвестный множитель?

Что получится при умножении числа на нуль? И другие.

Геометрический материал.

Включаю в устный счёт задания геометрического характера.

Каких фигур больше: треугольников или четырёхугольников?

https://pandia.ru/text/78/123/images/image015_8.gif" width="432" height="132">

Подсчитайте, сколько треугольников.

https://pandia.ru/text/78/123/images/image017_8.gif" width="612" height="120">

Сколько отрезков?

644 " style="width:483.35pt;border-collapse:collapse;border:none">

Плюс и минус.

Сказочные герои.

Найди лишнее слово.

Плюс и минус.

Расставьте в подходящих местах знаки «плюс» и «минус».

Сказочные герои.

10. Волк и заяц пошли покупать мороженое. Волк говорит: «Я большой и куплю три порции, а ты маленький, так что попроси две». Заяц согласился. Съел Волк мороженое, глянул на Зайца, да как крикнет: «Ну, Заяц, погоди!»

Почему рассердился Волк? (Заяц купил два раза по две порции.)

Сколько всего порций мороженого купили Волк и Заяц?

20. Около избушки на курьих ножках стоят две бочки с водой. В одной бочке 20 вёдер воды, а в другой – 15 вёдер. Из одной бочки Баба-Яга взяла 5 вёдер воды. Сколько вёдер воды осталось в бочках? (30вёдер)

30. Незнайка заметил, что яйцо всмятку сварилось за 3 минуты. Тогда он решил, что 2 яйца будут вариться всмятку вдвое дольше, то есть 6 минут. Прав ли Незнайка? (нет)

40. Незнайка посадил 50 семян гороха. Из каждого десятка не взошло 2 семени. Сколько всего семян не взошло? (10 семян)

50. Ослик пригласил к себе на день рождения гостей, в том числе и Пятачка, к 9 часам. Чтобы не опоздать, Пятачок вышел из дома в 8 часов, взяв в подарок воздушный шар . Первую половину пути Пятачок преодолел за 10 минут. Ещё 5 минут он летел на воздушном шаре, после чего шар лопн минут горько плакал и 10 минут брёл до жилья Ослика. Не опоздал ли Пятачок на день рождения? (Не опоздал, так как на дорогу он потратил 45 минут.)

Найди лишнее.

Понедельник условие 3, 6, 9 год выше

Среда ответ 5, 8, 11 сантиметр дороже

Февраль треугольник 10, 13, 16 месяц тоньше

Пятница вопрос 2, 4, 6 неделя старше

Воскресенье решение 14, 17, 20 сутки длиннее

https://pandia.ru/text/78/123/images/image020_7.gif" width="98" height="2 src=">20.

30. сес 3 цы

на-тя-нули)

Закончить устный счёт можно следующим заданием: соберите слова, которые кроются под следующими номерами.

С п а с и б о в с е м!