Уравнение баланса энергии в интегральной форме может быть получено из первого закона термодинамики и имеет вид

где первое слагаемое в скобках – кинетическая энергия движения жидкости, второе – потенциальная энергия положения, третье – энтальпия жидкости, Дж/кг;

Е п – полная энергия в контрольном объеме, Дж;

q – тепловой поток через контрольную поверхность, Вт;

l s – мощность на преодоление внешних сил, в основном трения, Вт;

u – скорость потока, м/с;

r – плотность среды, кг/м 3 ;

x – угол между нормалью и контрольной поверхностью;

g – ускорение силы тяжести, м/с 2 ;

z – геометрический напор, м;

h – удельная энтальпия, Дж/кг;

S – контрольная поверхность;

t – время, с.

Для химических процессов кинетическая и потенциальная энергии, а также мощность на преодоление внешних сил пренебрежимо малы по сравнению с энтальпией, поэтому можно записать

Это уравнение, по сути, является уравнением теплового баланса.

Для простого контрольного объема, ограниченного контрольными поверхностями, перпендикулярными вектору потока жидкости, интегрирование последнего уравнения дает

Первые два слагаемых в этом уравнении получены следующим образом. Если принять плотность постоянной, а cos(x )=±1, то

тогда

Так как W =rūS , то получаем

Если скорость незначительно меняется в обоих сечениях, а поток жидкости стационарен в гидродинамическом отношении, то уравнение баланса тепла можно записать следующим образом

Если система стационарна и в тепловом отношении, то:

Если в системе не происходит фазовых превращений и химических реакций, то можно от энтальпий перейти к теплоемкостям и тогда

Рассмотрим пример применения уравнений теплового баланса в нестационарных условиях.

Пример 9.1. Два резервуара объемом по 3 м 3 каждый заполнены водой при температуре 25 °С. Оба имеют мешалки, обеспечивающие практически полное перемешивание. В определенный момент времени в первый резервуар начинают подавать 9000 кг/ч воды при температуре 90 °С. Вода, выходящая из первого резервуара, поступает во второй. Определить температуру воды во втором резервуаре через 0,5 часа после начала подачи горячей воды. Резервуары считать теплоизолированными.

Рис. 9.1. К примеру 9.1

Решение: Составим схему тепловых потоков (рис. 9.1) и тепловой баланс для первого резервуара. При отсутствии теплообмена q =0 и при условиях

уравнение теплового баланса примет вид

откуда 9000(90-T 1 )d t=3·1000dT 1 , или

После интегрирования от 0 до t и от 25 °С до T 1 получим

T 1 =90-65exp(-3t).

Составим аналогичным образом тепловой баланс второй емкости

Уравнение движения можно использовать для описания взаимопревращения форм энергии текущей в данном месте жидкости .

где т - нормальное напряжение от сил трения в вязкой жидкости.

Составим уравнение, подобное по форме уравнению (2.49) раздела

2.7, но введем в него скалярную величину, обусловленную локальной скоростью со:

Это скалярное уравнение описывает скорость изменения кинетической энергии на единицу массы (со 1 1 2) для элемента жидкости, перемещающегося вниз по потоку.

Перепишем это уравнение в форме, более удобной для его дальнейшего исследования: представим субстанциальную производную в символах dldt путем использования уравнения сплошности (см. раздел 2.5); каждый из членов, описывающих действие давления и вязкости, разделим на два. Все члены в результирующем уравнении запишем для неподвижного элемента объема, через который протекает жидкость:

Левая часть уравнения представляет скорость возрастания кинетической энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода кинетической энергии посредством потока массы; производства работы давлением окружающей среды на объем элемента; обратимого превращения работы сил давления во внутреннюю энергию; производства работы вязкостными силами на объем элемента; необратимого превращения работы сил вязкого трения во внутреннюю энергию; производства работы гравитационными силами на объем элемента.

Физический смысл членов р(у со) и (r:V

Отметим, что член (-f:V

где i и j берут по величине х, у, z, т.е. i, j = х, у, z, а 6и - 1 для / = j и 5^ = 0 для i & j

где Ф 0 - диссипативная функция. Эта функция представляет собой количество теплоты, возникающей в потоке вязкой жидкости за счет необратимой работы сил внутреннего (вязкого) терния, и выражается через градиент скоростей.

Итак, член (г: V#) всегда положительный, а это значит, что во всех потоках жидкости происходит взаимопревращение механической энергии в тепловую и поэтому реальные процессы необратимы. При отсутствии члена (r:V

Явления, которые учитываются членом p(V

Явления, которые учитываются членом (f:V

Системы уравнений сплошности (2.38), движения (2.49) и состояния в форме р = р(р) используются для описания изометрических процессов в текущей жидкости. Если при изменении плотности и давления происходит изменение температуры (неизотермический процесс), то систему уравнений сплошности и движения следует дополнить уравнением состояния в форме F(p,p,T)= 0.

Для идеального газа уравнение состояния имеет вид

В основе уравнения переноса энергии лежит закон сохранения энергии. Рассмотрим неподвижный элемент объема, через который течет однородная жидкость. Запишем для жидкости, содержащейся внутри выделенного элемента объема в данный момент времени закон сохранения энергии:

В этом уравнении под кинетической энергией понимают энергию видимого движения жидкости (рсо 1 /2 на единицу объема). Под внутренней энергией жидкости понимается сумма внутренней кинетической энергии теплового движения молекул и внутренней потенциальной энергии взаимодействия между молекулами (внутренняя энергия жидкости зависит от ее локальной температуры и плотности). Потенциальная энергия потока не входит в это уравнение в явном виде, она включена в термин «работа». Напишем выражение для отдельных членов, входящих в уравнение

Скорость накопления внутренней и кинетической энергий элементов объемом AxAyAz (рис. 2.4):

где и - внутренняя энергия жидкости на единицу ее массы; со - локальная скорость жидкости.

Результирующая скорость прихода внутренней и кинетической энергий :

Скорость подвода энергии посредством теплопроводности равна

где q x ,q y ,q x - компоненты вектора плотности теплового потока q.

Работа, совершенная элементом объемом Л V против окружающей среды, состоит из двух частей: работы против объемных сил (гравитации); работы против поверхностных сил (давления и сил вязкости).

Напомним, что работа равна произведению силы на путь в направлении действия силы, тогда скорость производства работы равна произведению силы на скорость в направлении действия силы.

Скорость производства работы против трех компонентов гравитационной силы на единицу массы элемента:

Знак минус означает, что работа произведена против сил гравитации, т.е. со и g направлены в противоположные стороны.

Скорость производства работы против статического давления р,

приложенного к шести граням элемента AxAyAz:

Таким же образом найдем скорость производства работы против сил вязкости

Подставим полученные выражения в уравнение (2.56), разделив все члены полученного уравнения на AxAyAz и перейдя к пределу при Ах, Ау и Az, стремящихся к нулю, получим уравнение энергии :

Это уравнение может быть записано в более компактной векторно-тензорной форме:

В левой части уравнения - скорость приращения энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода энергии на единицу объема посредством конвекции; подвода энергии на единицу объема посредством теплопроводности; производства работы над жидкостью на единицу объема гравитационными силами; производства работы над жидкостью на единицу объема силами давления; производства работы над жидкостью на единицу объема силами вязкости.

Преобразуем уравнение энергии с помощью уравнений сплошности (раздел 2.5) и движения (раздел 2.7). Эту операцию произведем таким же образом, как это было сделано при переходе от формы уравнения движения (2.45) к форме (2.48) с помощью уравнения сплошности (2.38).

Произведем дифференцирование левой части уравнения (2.58), для этого перенесем туда конвективную составляющую скорости подвода энергии и после перегруппировки получим:

Первый член в левой части уравнения (2.59) представляет собой субстанциальную производную от (и + со 1 / 2); второй член равен нулю на основании уравнения сплошности (2.38).

Перепишем уравнение (2.59) с учетом сказанного:

Отметим, что полученные здесь две формы уравнения энергии (2.47) и (2.60) корреспондируются с двумя формами уравнения сплошности (2.39), (2.40) и двумя формами уравнения движения (2.47) и (2.49).

Уравнение (2.58) описывает энергетический обмен в жидкости с точки зрения неподвижного наблюдателя, а (2.60) описывает этот обмен, как его наблюдал бы исследователь, двигающийся вместе с потоком.

Уравнение (2.60) есть уравнение обмена, написанное для суммы энергий на единицу массы (и + со 2 / 2).

Уравнение переноса для одного из слагаемых этой суммы было получено ранее (2.53). Перепишем его в следующей форме:

Вычитая уравнение (2.61) из (2.60), получим уравнение обмена для внутренней энергии и в виде:

В левой части уравнения - скорость накопления внутренней энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода внутренней энергии посредством теплопроводности на единицу объема; возрастания внутренней энергии при обратимом сжатии на единицу объема; возрастания внутренней энергии за счет необратимой диссипации на единицу объема.

Уравнение (2.62) называют уравнением тепловой энергии или просто уравнением энергии.

Представим член pDu! Dt в форме pC v DT/Dt (C v - удельная теплоемкость при постоянном объеме); член V q в форме:

где q t =-ЛдТ/дх, q y - -ЛдТ / ду, q x = -ЛдТ /dz член (f: Vco) по уравнению (2.55).

С учетом этих дополнений уравнение (2.62) можно представить в следующей форме:

Большое значение имеют частные случаи уравнения (2.63). Например, для случая, когда коэффициент теплопроводности Л не зависит от температуры, координат и р - const(V 0), уравнение (2.63) примет вид:

для идеального сжимаемого газа

для твердого тела со- 0, поэтому

где а = Л/(р С v) ~ коэффициент температуропроводности; C v = С р - С С - теплоемкость твердого тела.

Или иначе

Это уравнение называют уравнением теплопроводности Фурье.

Для случая, когда температура не изменяется во времени, уравнение (2.64) имеет вид:

Последнее уравнение называют уравнением Лапласа.

Процессы движения газа, происходящие в различных теплотехнических установках, связаны с преобразованием энергии в газовом потоке. Расчеты рабочих процессов этих установок строятся на общих положениях теории га­зового потока. Эта теория базируется на основных положениях термодина­мики и на ряде допущений, к числу которых относятся следующие:

1.Течение газа установившееся, т.е. в каждом выделенном сечении пара­метры газа во всех его точках остаются постоянными.

2.От сечения к сечению происходят бесконечно малые изменения пара­метров газа по сравнению со значениями самих параметров. Течение газа стационарное.

При таких допущениях газ при движении будет проходить ряд последова­тельных равновесных состояний.

Стационарное течение газа описывается системой уравнений, включаю­щей уравнение неразрывности потока, уравнение состояния и уравнение энергии (уравнение 1-го закона термодинамики применительно к газовому потоку).

Уравнение неразрывности характеризует неизменность массового расхо­да газа в любом сечении канала при установившемся течении. Это уравнение имеет вид

где G - массовый секундный расход газа; , F 2 - площади поперечных сече­ний канала; w 1 , w 2 - скорости в соответствующих сечениях; ρ 1 ,ρ 2 - плотности газа для тех же сечений потока (ρ =l/v).

Для одномерного газового потока в соответствии со вторым законом Ньютона (сила равна массе, умноженной на ускорение) можно записать сле­дующее соотношение

- изменение давления по координате х;

- изменение скорости по координате х;

- сила, действующая на выделенный элементарный объем dV ;

- ускорение элементарной массы газа pdV .

Последнее соотношение можно переписать в виде

.

Учитывая, что ρ=1/v , получим

(7.1)

Полученное соотношение показывает, что приращения давления dp и ско­рости dw имеют разные знаки. Следовательно, скорость одномерного потока возрастает с уменьшением давления.

Величина -vdp совпадает с формулой для располагаемой работы dl в уравнении первого закона термодинамики вида

.

Отсюда уравнение первого закона термодинамики для газового потока при отсутствии сил тяжести и сил трения в газе примет вид

, (7.2)

где приращение кинетической энергии газа на выделенном участке.

Так как , то

, (7.3)

где d(pv) = pdv+ vdp - элементарная работа проталкивания.

Последнее уравнение показывает, что теплота, сообщаемая газу, затрачи­вается на изменение внутренней энергии, на работу проталкивания и на из­менение внешней кинетической энергии газа.

Уравнения (7.2),(7.3) являются основными для потоков газа и пара, при­чем они справедливы как для обратимых (не сопровождающихся действием сил трения), так и для необратимых течений (при наличии сил трения). При наличии сил трения должна затрачиваться работа трения l тр , которая полностью переходит в теплоту q тр . Вследствие равенства l тр =q тр обе эти величи­ны, имеющие противоположные знаки, взаимно сокращаются.

Уравнение (7.3) с учетом гравитационных сил принимает вид

где gdz - элементарная работа против сил тяжести. Этой составляющей в га­зах ввиду ее малости обычно пренебрегают.

При адиабатном течении газа (dq=0) уравнение (7.2) принимает вид

(7.4)

После интегрирования получим

(7.5)

Таким образом, при адиабатном течении газа сумма удельных энтальпии и кинетической энергии остается неизменной.

Отметим, что уравнения (7.2), (7.3), (7.4) справедливы в случае, когда газ при своем движении совершает лишь работу расширения и не производит полезной технической работы (например, работа на лопатках турбины и проч.). При совершении технической работы уравнение первого закона тер­модинамики (7.3) для потока газа примет вид

, (7.6)

где dl тех - элементарная техническая работа.

Сравнивая уравнение (7.5) с уравнением первого закона термодинамики (2.17) для расширяющегося, но не перемещающегося газа, получим

.

Таким образом, техническая работа равна работе расширения газа за вы­четом работы проталкивания и работы, затрачиваемой на приращение кине­тической энергии газа.

Уравнение энергии может быть записано в тепловой форме (через энтальпию газа) и в механической форме (через давление газа). Рассмотрим сначала уравнение энергии в тепловой форме для потока массы 1кг/с между двумя произвольными сечениями I и II в условиях обмена работой и теплотой с окружающей (внешней) средой. Условимся внешние работу и теплоту, подводимые к рабочей среде, считать положительным, а отводимые – отрицательными. Согласно закону сохранения энергии, изменение энергии установившегося потока массы газа (в пренебрежении изменением потенциальной энергии положения) должно быть равно сумме работы и теплоты, подведённых извне. Изменение энергии газа на элементарном пути ds складывается из изменения кинетической энергии и изменения энтальпий dh. Соответственно уравнение энергии в дифференциальной форме для турбодетандера имеет вид . В интегральной форме для участка I-II уравнение энергии в тепловой форме для турбодетандера получаем в виде . Здесь – изменения энтальпии и кинетической энергии потока массы газа; – внешняя работа, отведённая через вал от потока; – внешняя теплота, подведённая на участке I-II. Все члены уравнения имеют смысл удельных энергий и размерность джоуль на килограмм, так как характеризуют энергию потока газа 1кг/с. Приток теплоты к потоку массы в общем случае осуществляется двумя путями – извне в количестве и в результате диссипации энергии, т.е. превращения в теплоту работы трения, в количестве . Так что . Уравнение энергии в тепловой форме отражает только внешний поток теплоты, поскольку предполагается, что диссипированная энергия в виде теплоты полностью воспринимается потоком массы. Энергетический уровень потока массы в произвольном сечении рассматриваемого участка удобно характеризовать полной энтальпией, т.е. энтальпией заторможенного потока . Переходя к полным энтальпиям, придадим уравнению энергии следующий вид (уменьшение энтальпии при расширении ). Для адиабатных условий получаем . Из последнего уравнения следует, что в адиабатных условиях изменение энергетического уровня потока массы возможно только в результате обмена работой с внешней средой. При . Полученное уравнение энергии полезно несколько преобразовать, введя в него изоэнтропные разности энтальпий вместо действительных . В связи с этим введём величину , чтобы записать тождество для турбодетандера. Таким образом, есть разность энтальпий в конце действительного и изоэнтропийного процессов расширения газа при давлении в конце рассматриваемого процесса. В общем случае изменение энтальпии на величину является результатом теплообмена с окружающей средой и диссипации энергии . Поэтому . Диссипация энергии и подвод теплоты ведёт к увеличению энтальпии . В адиабатных процессах величина характеризует необратимость процесса, или потери. Как будет показано ниже, в адиабатных процессах, протекающих в турбомашинах, при изменении давления до конечного, т.е. при , выражение и является потерей холода. Используя равенство , можно придать уравнениям энергии несколько иной вид. Для турбодетандеров и его элементов (в условиях подвода теплоты) , где .

Уравнение энергии в механической форме. Запишем уравнение первого закона термодинамики в следующем виде (имея в виду, что ) . Интегрируя это уравнение от до , получаем . Используя это уравнение, следует помнить, что при подводе внешней теплоты к турбодетандеру . Выше было показано, что для идеального газа есть политропная работа расширения потока газа, которая обычно определяется по среднему значению показателя политропы. Диссипированная энергия включает все потери на рассматриваемом участке потока массы. Представляют интерес уравнения, получающиеся при сравнении уравнений энергии в тепловой и в механической формах. Из сравнения этих уравнений получаем следующее обобщенное уравнение Бернулли для расширительной машины, переходя к положительным значениям внешней и политропной работ и изменяя соответственно пределы интегрирования при определении политропной работы, получаем . Физический смысл полученных уравнений заключается в следующем – в турбомашинах политропная работа расширения потока массы газа равна сумме внешней работы, диссипированной энергии (компенсация потерь) и уменьшению кинетической энергии.

15. Типы рабочих колёс турбодетандера. Уравнение сохранения энергии для рабочего колеса с выходным диффузором турбодетандера.

Наряду с уравнениями сохранения массы и импульса, которые были использованы выше для вывода уравнений неразрывности и движения, при описании сплошной среды используется также и уравнение энергии. Уравнение энергии рассмотрим для частного случае адиабатического процесса, когда отсутствует теплообмен между элементами сплошной среды. В этом случае изменение внутренней энергии Е элемента сплошной среды с массой (жидкой частицы) связано только с изменением его объема (при отсутствии объемных источников тепловыделения): . Вводя в рассмотрение энергию на единицу массы вещества , получим

Поскольку , то

.

В соответствии с уравнением неразрывности , поэтому

.

Данное уравнение описывает распределение объемной плотности внутренней энергии и его изменение, вызываемое деформацией и движением среды. Вместе с тем к изменению внутренней энергии могут приводить процессы, связанные с выделением или поглощением энергии, например при нагреве электрическим током или при химических реакциях. Для учета этих явлений модифицируем последнее уравнение добавлением в его правую часть слагаемого , имеющего размерность Вт/м 3 , описывающего скорость выделения или поглощения, в зависимости от знака, энергии в точках сплошной среды.

Таким образом, полная система уравнений динамики идеальной жидкости (газа) в адиабатическом режиме имеет вид

(58)

Последнее равенство есть уравнение состояния, замыкающее систему и определяющее конкретные физические свойства среды. Приведем примеры уравнения состояния:

1. Идеальный газ: , где - постоянная Больцмана, n - концентрация частиц в газе, M - масса частицы.

2. Несжимаемая жидкость:

3. Вода при высоких давлениях , где , - давление и плотность при нормальных условиях.

Последний пример показывает, что для увеличения плотности воды на 20 % необходимо избыточное давление . Возвращаясь к уравнению энергии, получаем

,

где вместо взято произведение концентрации частиц на массу частицы. Частицы газа в общем случае имеют s степеней свободы. На каждую степень свободы при термодинамическом равновесии приходится энергия . Тогда после подстановки выражения для внутренней энергии единицы массы идеального газа в уравнение энергии получим

,

, ,

где и - постоянные. Последнему равенству можно придать вид , где - показатель адиабаты. Постоянную можно определить из начальных условий . В результате уравнение адиабаты получит вид